Uppgift 6

Vi använder polära koordinater. Genom att antingen rita en figur eller utnyttja sambanden $0\le r\sin\theta\le r\cos\theta$, $1\le r^2\le2$, ser vi att den mängd som svarar mot $D$ är $E=\{(r,\theta):1\le r\le\sqrt2,\ 0\le\theta\le\pi/4\}$. Så
$$\begin{aligned}\iint_D\frac x{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy&=\iint_E\frac{r^2\cos\theta}{r^4}\,dr\,d\theta=\int_1^{\sqrt2}r^{-2}\,dr\int_0^{\pi/4}\cos\theta\,d\theta\\&=\left[-\frac1r\right]_1^{\sqrt2}[\sin\theta]_0^{\pi/4}=\left(-\frac1{\sqrt2}+1\right)\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}-\frac12.\end{aligned}$$