Hela analys · 2009-06-05
Lös differentialekvationen $y'-y=x$.
Bestäm den lösning till differentialekvationen $xy'=y^2$ som satisfierar begynnelsevillkoret $y(1)=1$. Bestäm också det största $x$-intervallet kring punkten $x=1$ för vilket lösningen existerar. Finns det någon lösning som satisfierar begynnelsevillkoret $y(0)=0$?
a) Eftersom $\int(-1)\,dx=-x$ (med integrationskonstanten satt till $0$), är $e^{-x}$ ekvationens integrerande faktor. Vi får $e^{-x}y'-e^{-x}y=xe^{-x}$ och vidare $(e^{-x}y)'=xe^{-x}$ och $e^{-x}y=\int xe^{-x}\,dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}\,dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C$. Så $y=-x-1+Ce^x$ är ekvationens allmänna lösning.
b) Ekvationen har separabla variabler. En uppenbar lösning är $y=0$, och den satisfierar villkoret $y(0)=0$. För $y\ne0$ får vi $\frac{y'}{y^2}=\frac1x$ och sedan $\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}x$. Integration ger $-\frac1y=\ln\lvert x\rvert+C$, så $y=-\frac1{\ln\lvert x\rvert+C}$. Villkoret $y(1)=1$ ger $C=-1$, så $y=\frac1{1-\ln x}$. Här har vi ersatt $\lvert x\rvert$ med $x$ eftersom med en lösning till ett begynnelsevärdesproblem menar man vanligtvis en lösning för $x$ i ett intervall kring begynnelsepunkten $x_0$. Eftersom $\ln x<1\iff0<x<e$, är $(0,e)$ det största $x$-intervallet där lösningen existerar.