Uppgift 2

a) Volymen
$$V=\pi\int_1^\infty f(x)^2\,dx=\pi\int_1^\infty\frac1{1+x^2}\,dx=\pi\lim_{X\to\infty}[\arctan x]_1^X=\pi\lim_{X\to\infty}(\arctan X-\arctan1)=\pi\left(\frac\pi2-\frac\pi4\right)=\frac{\pi^2}4.$$
b) Arean $A=2\pi\int_1^\infty f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Om $f\ge0$ (vilket är fallet här), så är $0\le f(x)\le f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}$ och enligt jämförelsesatsen för generaliserade integraler räcker det att visa att $\int_1^\infty f(x)\,dx$ divergerar. Eftersom $f(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}\ge\frac1{\sqrt2x}>0$ för $x\ge1$ och $\int_1^\infty\frac1{\sqrt2x}\,dx$ divergerar, ger ännu en användning av jämförelsesatsen att även $\int_1^\infty f(x)\,dx$ divergerar. Alltså är arean oändlig.