Uppgift 3

För $x\ge0$ är $f(x)=2x-\arctan x$ och för $x<0$ är $f(x)=-\arctan x$. Så $f'(x)=2-\frac1{1+x^2}>0$ för $x>0$ och $f'(x)=-\frac1{1+x^2}<0$ för $x<0$, vilket ger följande teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&0&\\\hline f'&-&\text{ej def.}&+\\f&\searrow&&\nearrow\end{array}$$
(notera att $f$ inte är deriverbar i origo). Vi ser att $f$ har ett lokalt (och även globalt) minimum då $x=0$.

Vi undersöker konvexitet. För $x\ne0$ är $f''(x)=\frac{2x}{(1+x^2)^2}$, så vi får följande teckentabell för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&0&\\\hline f''&-&\text{ej def.}&+\\f&\text{konkav}&&\text{konvex}\end{array}$$
Till sist undersöker vi asymptoter. Eftersom $f$ är definierad och kontinuerlig för alla $x$, finns inga lodräta sådana.

$k=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to+\infty}(2-\frac{\arctan x}x)=2$ och $m=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-2x)=\lim_{x\to+\infty}(-\arctan x)=-\frac\pi2$. Så $y=2x-\frac\pi2$ är sned asymptot då $x\to+\infty$.

På samma sätt får vi $k=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=-\lim_{x\to-\infty}\frac{\arctan x}x=0$ och $m=\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\lim_{x\to-\infty}\arctan x=\frac\pi2$. Så $y=\frac\pi2$ är sned (egentligen vågrät) asymptot då $x\to-\infty$.

Grafen: