Uppgift 4

Sätt $f(x)=\ln(1+x)-\frac14x^2-\frac34$. Vi behöver visa att $f(x)<0$ för alla $x>-1$. Eftersom $f'(x)=\frac1{1+x}-\frac12x=\frac{2-x-x^2}{2(1+x)}$, får vi följande teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|cccc}x&-1&&1&\\\hline f'&&+&0&-\\f&&\nearrow&&\searrow\end{array}$$
Så för alla $x>-1$ gäller att $f(x)\le f(1)=\ln2-1<0$ (eftersom $\ln2<\ln e=1$).