Uppgift 1

a) Maclaurinutvecklingen av sinus ger $\sin x=x-\frac16x^3+B_1(x)x^5$, så $\sin^2x=(x-\frac16x^3+B_1(x)x^5)^2=x^2-\frac13x^4+B_2(x)x^6$. Ersätts $x$ med $x^2$ i sinus-utvecklingen, får man $\sin(x^2)=x^2-\frac16x^6+B_3(x)x^{10}$. Så
$$\frac{\sin(x^2)-\sin^2x}{x^4}=\frac{x^2-\frac16x^6+B_3(x)x^{10}-(x^2-\frac13x^4+B_2(x)x^6)}{x^4}=\frac{\frac13x^4+B_4(x)x^6}{x^4}=\frac13+B_4(x)x^2\to\frac13\text{ då }x\to0.$$
b) $\lim_{x\to0^+}xe^{1/x}=[\text{sätt }x=1/t]=\lim_{t\to\infty}e^t/t=+\infty$ (standardgränsvärde).

$\lim_{x\to0^-}xe^{1/x}=0$. Det ser man direkt eftersom $1/x\to-\infty$ då $x\to0^-$, så både $x$ och $e^{1/x}$ går mot $0$.