Uppgift 2

a) Eftersom $\int2x\,dx=x^2$ (med integrationskonstanten satt till $0$), är $e^{x^2}$ ekvationens integrerande faktor. Vi får $e^{x^2}y'+2xe^{x^2}y=xe^{x^2}$, vilket ger $(e^{x^2}y)'=xe^{x^2}$ och $e^{x^2}y=\int xe^{x^2}\,dx=[x^2=t,\ 2x\,dx=dt]=\frac12\int e^t\,dt=\frac12e^t+C=\frac12e^{x^2}+C$. Så $y=\frac12+Ce^{-x^2}$ är ekvationens allmänna lösning.

b) Den karakteristiska ekvationen $r^2-4r+13=0$ har rötterna $r_{1,2}=2\pm3i$. Så $y_h=e^{2x}(D_1\cos3x+D_2\sin3x)$.

Vi söker en partikulärlösning på formen $y_p=Ae^{-2x}+B$. Vi får $y_p''-4y_p'+13y_p=4Ae^{-2x}-4(-2Ae^{-2x})+13(Ae^{-2x}+B)=25Ae^{-2x}+13B=e^{-2x}+1$. Så $A=1/25$, $B=1/13$ och $y_p=\frac1{25}e^{-2x}+\frac1{13}$.

Det följer att den allmänna lösningen är $y=e^{2x}(D_1\cos3x+D_2\sin3x)+\frac1{25}e^{-2x}+\frac1{13}$.

För att det skall finnas ett gränsvärde när $x\to\infty$, så måste $D_1=D_2=0$. Lösningen blir då $y=\frac1{25}e^{-2x}+\frac1{13}$ och gränsvärdet blir $\frac1{13}$.