Uppgift 4

$f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&&1-\sqrt2&&1&&1+\sqrt2&\\\hline f'&+&0&-&\text{ej def.}&-&0&+\\f&\nearrow&&\searrow&&\searrow&&\nearrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt maximum då $x=1-\sqrt2$ och ett lokalt minimum då $x=1+\sqrt2$.

Konvexitet: $f''(x)=\frac4{(x-1)^3}$. Teckentabell för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&1&\\\hline f''&-&\text{ej def.}&+\\f&\text{konkav}&&\text{konvex}\end{array}$$
Asymptoter: $\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty$ och $\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty$, så $x=1$ är en lodrät asymptot.
$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2+x}{x(x-1)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+1/x}{1-1/x}=1.$$
$$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x}{x-1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac2{1-1/x}=2.$$
Alltså är $y=x+2$ en sned asymptot.

Grafen: