Uppgift 5

$f_x'(x,y)=(1-2x(x+y))e^{-x^2-y^2}$, $f_y'(x,y)=(1-2y(x+y))e^{-x^2-y^2}$, så $f_x'=f_y'=0$ om och endast om $2x(x+y)=1$ och $2y(x+y)=1$. Genom att dividera den första ekvationen med den andra får vi $x/y=1$, dvs. $y=x$. Detta insatt i den första ekvationen ger $4x^2=1$. Så $x=\pm\frac12$ och det finns $2$ stationära punkter: $(\frac12,\frac12)$ samt $(-\frac12,-\frac12)$ som båda ligger i det inre av cirkelskivan. Motsvarande värden för $f$ är $f((\frac12,\frac12))=e^{-1/2}$ och $f((-\frac12,-\frac12))=-e^{-1/2}$.

På randen är $f(x,y)=f(\cos\theta,\sin\theta)=(\cos\theta+\sin\theta)e^{-1}$, $0\le\theta\le2\pi$. Sätt $h(\theta)=(\cos\theta+\sin\theta)e^{-1}$.

$h'(\theta)=(-\sin\theta+\cos\theta)e^{-1}=0$ ger $\tan\theta=1$, dvs. $\theta=\pi/4$ eller $5\pi/4$. Vi får $h(\frac\pi4)=\sqrt2e^{-1}$, $h(\frac{5\pi}4)=-\sqrt2e^{-1}$ och $h(0)=h(2\pi)=e^{-1}$.

Vi jämför $e^{-1/2}$ och $\sqrt2e^{-1}$. Eftersom $e^{-1/2}>\sqrt2e^{-1}\iff e^{1/2}>\sqrt2\iff e>2$ och den sista olikheten är uppenbart korrekt, är $e^{-1/2}>\sqrt2e^{-1}$. Nu är det klart att det största värdet för $f$ i cirkelskivan är $e^{-1/2}$ och det minsta värdet är $-e^{-1/2}$.