Uppgift 1

Genom att använda standardutvecklingar får vi:
$\arctan x=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5+O(x^7)$, $\sin x=x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}+O(x^7)$ och $\ln(1+t)=t+O(t^2)$. I den sista utvecklingen ersätter vi $t$ med $x^2$, vilket ger $\ln(1+x^2)=x^2+O(x^4)$. Så
$$\arctan x-\sin x+\tfrac16x^3=(x-\tfrac{x^3}3+\tfrac{x^5}5+O(x^7))-(x-\tfrac{x^3}6+\tfrac{x^5}{120}+O(x^7))+\tfrac{x^3}6=\tfrac{23}{120}x^5+O(x^7),$$
$x\ln^2(1+x^2)=x(x^2+O(x^4))^2=x^5+O(x^7)$ och
$$\frac{\arctan x-\sin x+\frac16x^3}{x\ln^2(1+x^2)}=\frac{\frac{23}{120}x^5+O(x^7)}{x^5+O(x^7)}=\frac{\frac{23}{120}+O(x^2)}{1+O(x^2)}\to\frac{23}{120}\text{ då }x\to0.$$