Uppgift 2

a) Den karakteristiska ekvationen $r^2+3r-4=0$ har två reella rötter: $r_1=1$ och $r_2=-4$. Så $y_h=C_1e^x+C_2e^{-4x}$.

Vi söker en partikulärlösning på formen $y_p=Ae^{3x}+Bx+C$. Derivering ger $y_p'=3Ae^{3x}+B$, $y_p''=9Ae^{3x}$ och $y_p''+3y_p'-4y_p=14Ae^{3x}-4Bx+(3B-4C)=e^{3x}+x$. Så $14A=1$, $-4B=1$, $3B-4C=0$. Vi får $A=\frac1{14}$, $B=-\frac14$, $C=-\frac3{16}$, $y_p=\frac1{14}e^{3x}-\frac14x-\frac3{16}$ och slutligen $y=C_1e^x+C_2e^{-4x}+\frac1{14}e^{3x}-\frac14x-\frac3{16}$.

b) Separation av variablerna ger $\frac{y'}{1+y^2}=x$, eller omskrivet, $\frac{dy}{1+y^2}=x\,dx$. Genom att integrera båda led får vi $\arctan y=\frac{x^2}2+C$. Eftersom $y(0)=1$, är $\arctan1=C$, dvs. $C=\frac\pi4$. Det följer att $\arctan y=\frac{x^2}2+\frac\pi4$ och $y=\tan(\frac{x^2}2+\frac\pi4)$.

Det största intervallet kring $x=0$ där $\tan(\frac{x^2}2+\frac\pi4)$ (och därmed lösningen) existerar får vi ur sambandet $-\frac\pi2<\frac{x^2}2+\frac\pi4<\frac\pi2$. Den vänstra olikheten är alltid uppfylld och den högra då $x^2<\pi/2$. Alltså är det största intervallet $(-\sqrt{\pi/2},\sqrt{\pi/2})$.