Uppgift 3

$f'(x)=\frac{-x^2+4x-1}{(x^2-1)^2}$, så $f'(x)=0$ då $x=2\pm\sqrt3$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccccccc}x&&-1&&2-\sqrt3&&1&&2+\sqrt3&\\\hline f'&-&\text{ej def.}&-&0&+&\text{ej def.}&+&0&-\\f&\searrow&&\searrow&&\nearrow&&\nearrow&&\searrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt minimum då $x=2-\sqrt3$ och ett lokalt maximum då $x=2+\sqrt3$.

Asymptoter: Eftersom $x-2<0$ för $x<2$ och $x^2-1\to0^+$ då $x\to1^+$ eller $x\to-1^-$ samt $x^2-1\to0^-$ då $x\to1^-$ eller $x\to-1^+$, är $\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty$, $\lim_{x\to1^-}f(x)=\infty$ och $\lim_{x\to-1^+}f(x)=\infty$, $\lim_{x\to-1^-}f(x)=-\infty$. Så $x=1$ och $x=-1$ är lodräta asymptoter.
$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x-2}{x^2-1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-2/x}{x-1/x}=0.$$
Så $y=0$ är vågrät asymptot då $x\to\pm\infty$.

Grafen:

Den högra bilden är en förstoring av den del av grafen som ligger till höger om asymptoten $x=1$. Notera att grafen skär $x$-axeln enbart då $x=2$.