Uppgift 5

a) $f_x'(x,y)=3x^2-3y$, $f_y'(x,y)=-3x+3y^2$, så $f_x'=f_y'=0$ om och endast om $y=x^2$ och $x=y^2$. Genom att sätta in $y=x^2$ i den andra ekvationen får vi $x=x^4$. Så $x=0$ eller $x=1$. Vi får två stationära punkter, $(0,0)$ och $(1,1)$. Den första ligger på randen, så vi kan bortse från den, däremot ligger den andra i det inre av mängden. Vi sparar värdet $f(1,1)=-1$.

Randundersökning: I hörnpunkterna får vi $f(0,0)=0$, $f(0,2)=f(2,0)=8$ och $f(2,2)=4$.

På linjestycket $y=0$, $0<x<2$ har vi $h_1(t)=f(t,0)=t^3$, $0<t<2$. Funktionen $h_1$ har inga stationära punkter för $0<t<2$.

På linjestycket $y=2$, $0<x<2$ får vi på motsvarande sätt $h_2(t)=f(t,2)=t^3-6t+8$, $0<t<2$.

$h_2'(t)=3t^2-6=0$ då $t=\sqrt2$ ($t=-\sqrt2$ ligger utanför intervallet). Motsvarande värde för $f$ är $h_2(\sqrt2)=f(\sqrt2,2)=8-4\sqrt2$.

Eftersom $f(0,t)=f(t,0)=h_1(t)$ och $f(2,t)=f(t,2)=h_2(t)$, får vi inga nya värden på de återstående två linjestyckena.

Vi jämför de erhållna värdena och ser att funktionens största och minsta värde i den angivna mängden är $8$ respektive $-1$.

b) $f_x'(1,2)=-3$, $f_y'(1,2)=9$. Så tangentplanets ekvation är $z=3-3(x-1)+9(y-2)$ och efter förenkling $z=-3x+9y-12$.