Uppgift 6

Vi går över till polära koordinater. Olikheten $x^2+y^2\le1$ ger $0\le r\le1$. $x\ge0$ ger $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$ och eftersom $y=x$, $x\ge0$ svarar mot $\theta=\pi/4$, ser vi att mängden $D$ svarar mot $E=\{(r,\theta)\mid0\le r\le1,\ -\pi/2\le\theta\le\pi/4\}$. Man kan även se detta genom att rita en figur. Nu kan vi beräkna integralen:
$$\begin{aligned}\iint_D\frac{dx\,dy}{1+x^2+y^2}&=\iint_E\frac{r}{1+r^2}\,dr\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/4}d\theta\int_0^1\frac{r\,dr}{1+r^2}\\&=\frac{3\pi}4\int_0^1\frac{r\,dr}{1+r^2}=[1+r^2=t,\ 2r\,dr=dt]=\frac{3\pi}8\int_1^2\frac{dt}t=\frac{3\pi}8[\ln t]_1^2=\frac{3\pi}8\ln2.\end{aligned}$$