Uppgift 1

a) $\lim_{x\to0}(1+x)^{2/\sin x}=\lim_{x\to0}((1+x)^{1/x})^{2x/\sin x}=e^2$ eftersom $(1+x)^{1/x}\to e$ och $\sin x/x\to1$ då $x\to0$ (standardgränsvärden). Alternativ lösning: $\lim_{x\to0}(1+x)^{2/\sin x}=\lim_{x\to0}(e^{\ln(1+x)})^{2/\sin x}=\lim_{x\to0}e^{2\ln(1+x)/\sin x}=e^2$ eftersom $\frac{2\ln(1+x)}{\sin x}=2\frac{\ln(1+x)}x\cdot\frac x{\sin x}\to2\cdot1\cdot1=2$ då $x\to0$.

b) Genom att använda standardutvecklingar får vi:
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+O(x^4)$, $\sin x=x+O(x^3)$ och $\arctan x=x-\frac{x^3}3+O(x^5)$.

Vi får även $\sin^2x=(x+O(x^3))^2=x^2+O(x^4)$, och genom att ersätta $x$ med $2x$ i arctan-utvecklingen, $\arctan2x=2x-\frac{8x^3}3+O(x^5)$. Så
$$\begin{aligned}\frac{2\ln(1+x)+\sin^2x-2x}{\arctan2x-2\arctan x}&=\frac{2x-x^2+\frac23x^3+O(x^4)+x^2+O(x^4)-2x}{2x-\frac83x^3+O(x^5)-(2x-\frac23x^3+O(x^5))}\\&=\frac{\frac23x^3+O(x^4)}{-2x^3+O(x^5)}=\frac{\frac23+O(x)}{-2+O(x^2)}\to-\frac13\text{ då }x\to0.\end{aligned}$$