Uppgift 2
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y'-3y=x$ som satisfierar villkoret $y(0)=0$.
(b)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $x^2y'=y^2$.
Hela analys · 2010-01-15
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
a) Eftersom $\int(-3)\,dx=-3x$ (med integrationskonstanten satt till $0$), är $e^{-3x}$ ekvationens integrerande faktor. Vi får $e^{-3x}y'-3e^{-3x}y=xe^{-3x}$, vilket är ekvivalent med $(e^{-3x}y)'=xe^{-3x}$.
Så $e^{-3x}y=\int xe^{-3x}\,dx=-\frac13xe^{-3x}+\frac13\int e^{-3x}\,dx=-\frac13xe^{-3x}-\frac19e^{-3x}+C$ och $y=-\frac13x-\frac19+Ce^{3x}$.
Villkoret $y(0)=0$ ger $0=-\frac19+C$. Alltså är $C=\frac19$ och den sökta lösningen är $y=\frac19e^{3x}-\frac13x-\frac19$.
b) Vi ser direkt att $y=0$ är en lösning. Låt nu $y\ne0$. Genom att separera variablerna får vi $\frac{y'}{y^2}=\frac1{x^2}$, eller omskrivet, $\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2}$. Integration ger $-\frac1y=-\frac1x+C$. Så $y=\frac1{\frac1x-C}=\frac x{1-Cx}$.
Svar: $y=\frac x{1-Cx}$ samt $y=0$.