Uppgift 3

$f'(x)=\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}$, så $f'(x)=0$ då $x=2\pm\sqrt3$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&&2-\sqrt3&&2&&2+\sqrt3&\\\hline f'&+&0&-&\text{ej def.}&-&0&+\\f&\nearrow&&\searrow&&\searrow&&\nearrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt maximum då $x=2-\sqrt3$ och ett lokalt minimum då $x=2+\sqrt3$.

Konvexitet:
$$f''(x)=\frac{(2x-4)(x-2)^2-(x^2-4x+1)\cdot2(x-2)}{(x-2)^4}=\frac{(2x-4)(x-2)-2(x^2-4x+1)}{(x-2)^3}=\frac6{(x-2)^3}.$$
Teckentabell för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&2&\\\hline f''&-&\text{ej def.}&+\\f&\text{konkav}&&\text{konvex}\end{array}$$
Asymptoter: Eftersom $x^2-1>0$ för $x$ nära $2$ och $x-2\to0^+$ då $x\to2^+$ samt $x-2\to0^-$ då $x\to2^-$, är $\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$ och $\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$. Linjen $x=2$ är en lodrät asymptot.

$k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2-1}{x(x-2)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-1/x^2}{1-2/x}=1$, $m=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x-1}{x-2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2-1/x}{1-2/x}=2$. Alltså är linjen $y=x+2$ en sned asymptot då $x\to\pm\infty$.

Grafen: