Uppgift 6

Eftersom $0\le4-x^2$ och $x\ge0$ om och endast om $0\le x\le2$, får vi
$$\begin{aligned}\iint_Dxe^y\,dx\,dy&=\int_0^2\left(\int_0^{4-x^2}xe^y\,dy\right)dx=\int_0^2[xe^y]_{y=0}^{y=4-x^2}\,dx=\int_0^2x(e^{4-x^2}-1)\,dx\\&=[4-x^2=t,\ -2x\,dx=dt]=-\frac12\int_4^0(e^t-1)\,dt=\frac12\int_0^4(e^t-1)\,dt=\frac12[e^t-t]_0^4=\frac12(e^4-5).\end{aligned}$$