Uppgift 1

a) $\lim_{x\to\infty}x\tan\frac1x=[1/x=t]=\lim_{t\to0}\frac{\tan t}t=\lim_{t\to0}\frac{\sin t}t\frac1{\cos t}=1$.

b) $\arctan t=t-\frac{t^3}3+O(t^5)$. Om vi ersätter $t$ med $x^2$, får vi $\arctan(x^2)=x^2-\frac{x^6}3+O(x^{10})$. Så
$$\begin{aligned}\frac{x\arctan(x^2)-x^3}{x^a}&=\frac{x(x^2-\frac{x^6}3+O(x^{10}))-x^3}{x^a}=\frac{-\frac13x^7+O(x^{11})}{x^a}\\&=[\text{låt }a=7]=\frac{-\frac13x^7+O(x^{11})}{x^7}=-\frac13+O(x^4)\to-\frac13.\end{aligned}$$
Så $a=7$ och gränsvärdet är $-\frac13$.