Uppgift 2

a) Den karakteristiska ekvationen $r^2+2r+17=0$ har rötterna $r_{1,2}=-1\pm4i$. Så $y_h=e^{-x}(D_1\cos4x+D_2\sin4x)$.

Vi söker en partikulärlösning på formen $y_p=Ax+B+Ce^{2x}$. Derivering ger $y_p'=A+2Ce^{2x}$ och $y_p''=4Ce^{2x}$. Så $y_p''+2y_p'+17y_p=17Ax+2A+17B+25Ce^{2x}=34x+e^{2x}$. Vi får $17A=34$, $2A+17B=0$ och $25C=1$, vilket ger $A=2$, $B=-\frac4{17}$, $C=\frac1{25}$ och $y=e^{-x}(D_1\cos4x+D_2\sin4x)+2x-\frac4{17}+\frac1{25}e^{2x}$.

b) Genom att dividera ekvationen med $x^2$ får vi $y'-\frac2xy=\frac1{x^2}+x^2$. Eftersom $\int(-\frac2x)\,dx=-2\ln x$ (med integrationskonstanten satt till $0$), är $e^{-2\ln x}=1/x^2$ ekvationens integrerande faktor. Så vi får $\frac1{x^2}y'-\frac2{x^3}y=\frac1{x^4}+1$, och vidare $(\frac y{x^2})'=\frac1{x^4}+1$, $\frac y{x^2}=\int(\frac1{x^4}+1)\,dx=-\frac1{3x^3}+x+C$ och $y=-\frac1{3x}+x^3+Cx^2$. $y(1)=2$ ger $C=\frac43$ och $y=-\frac1{3x}+x^3+\frac43x^2$.