Uppgift 5

$f_x'(x,y)=\frac{y(1-x^2+y^2)}{(1+x^2+y^2)^2}$, $f_y'(x,y)=\frac{x(1+x^2-y^2)}{(1+x^2+y^2)^2}$.

$f_x'=f_y'=0$ då $y(1-x^2+y^2)=0$ och $x(1+x^2-y^2)=0$. Det blir $4$ fall: a) $x=y=0$, b) $y=0$, $1+x^2-y^2=0$, c) $x=0$, $1-x^2+y^2=0$, d) $1-x^2+y^2=0$, $1+x^2-y^2=0$. Fallen b–d saknar lösning, så $(x,y)=(0,0)$ är den enda stationära punkten och $f(0,0)=0$.

Randundersökning: På randen $x^2+y^2=R^2$ är $h(t)=f(R\cos t,R\sin t)=\frac{R^2\cos t\sin t}{1+R^2}=\frac12\frac{R^2}{1+R^2}\sin2t$. Största och minsta värdet här är uppenbart $\frac12\frac{R^2}{1+R^2}$ respektive $-\frac12\frac{R^2}{1+R^2}$.

Eftersom $f(0,0)=0$ ligger mellan dessa värden, är $\frac12\frac{R^2}{1+R^2}$ funktionens största och $-\frac12\frac{R^2}{1+R^2}$ funktionens minsta värde i cirkelskivan $x^2+y^2\le R^2$. Slutligen, största och minsta värdet går mot $\frac12$ respektive $-\frac12$ då $R\to\infty$.