Uppgift 6

Vi går över till polära koordinater. Olikheten $x^2+y^2\le3$ ger $0\le r\le\sqrt3$ och $x\ge0$ ger $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$. Så mängden $D$ svarar mot $E=\{(r,\theta)\mid0\le r\le\sqrt3,\ -\pi/2\le\theta\le\pi/2\}$. Nu beräknar vi integralen:
$$\begin{aligned}\iint_D\frac x{1+x^2+y^2}\,dx\,dy&=\iint_E\frac{r^2\cos\theta}{1+r^2}\,dr\,d\theta=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\int_0^{\sqrt3}\frac{(1+r^2)-1}{1+r^2}\,dr\\&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\int_0^{\sqrt3}\left(1-\frac1{1+r^2}\right)dr=[\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}[r-\arctan r]_0^{\sqrt3}\\&=2(\sqrt3-\arctan\sqrt3)=2(\sqrt3-\pi/3).\end{aligned}$$