Uppgift 1

a) $\ln(2e^x+x)-\ln(e^x-1)=\ln\frac{2e^x+x}{e^x-1}=\ln\frac{2+xe^{-x}}{1-e^{-x}}\to\ln2$ eftersom $xe^{-x}=x/e^x\to0$ då $x\to\infty$.

b) Genom att använda standardutvecklingar får vi:
$\sin x=x-\frac{x^3}6+O(x^5)$, $\cos x=1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+O(x^6)$, $e^t=1+t+O(t^2)$. I den sista utvecklingen ersätter vi $t$ med $x^2$ och får $e^{x^2}=1+x^2+O(x^4)$. Så
$$\frac{(e^{x^2}-1)(\sin x-x)}{2x(\cos x-1)+x^3}=\frac{(x^2+O(x^4))(-\frac{x^3}6+O(x^5))}{2x(-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+O(x^6))+x^3}=\frac{-\frac{x^5}6+O(x^7)}{\frac{x^5}{12}+O(x^7)}=\frac{-\frac16+O(x^2)}{\frac1{12}+O(x^2)}\to-2\text{ då }x\to0.$$