Hela analys · 2010-06-04
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y'=y^2\sin x$ som satisfierar villkoret $y(0)=\frac13$.
Lös differentialekvationen $xy'-2y=1$. Bestäm sedan, för varje värde på konstanten $a$, de lösningar som satisfierar villkoret $y(0)=a$ eller visa att det inte finns sådana lösningar.
a) En uppenbar lösning är $y=0$ men den satisfierar inte villkoret $y(0)=\frac13$. Om $y\ne0$, kan vi separera variablerna. Vi får $\frac{y'}{y^2}=\sin x$, eller omskrivet, $\frac{dy}{y^2}=\sin x\,dx$. Genom att integrera båda led får vi $-\frac1y=-\cos x+C$. Så $y=\frac1{\cos x-C}$. Villkoret $y(0)=\frac13$ ger $C=-2$. Alltså är den sökta lösningen $y=\frac1{\cos x+2}$.
b) Genom att dividera ekvationen med $x$ får vi $y'-\frac2xy=\frac1x$. Eftersom $-\int\frac2x\,dx=-2\ln x$ (med integrationskonstanten satt till $0$), är $e^{-2\ln x}=\frac1{x^2}$ ekvationens integrerande faktor. Vi får $\frac1{x^2}y'-\frac2{x^3}y=\frac1{x^3}$, och vidare $(\frac y{x^2})'=\frac1{x^3}$, $\frac y{x^2}=-\frac1{2x^2}+C$ och $y=-\frac12+Cx^2$. $y(0)=a$ ger $a=-\frac12$. Så om $a=-\frac12$, satisfierar alla lösningar ovan det angivna villkoret, och om $a\ne-\frac12$, finns inga lösningar som satisfierar $y(0)=a$.