Uppgift 3

$f'(x)=(x^2+2x-3)e^x$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&-3&&1&\\\hline f'&+&0&-&0&+\\f&\nearrow&&\searrow&-2e&\nearrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt maximum då $x=-3$ och ett lokalt minimum då $x=1$.

Konvexitet: $f''(x)=(x^2+4x-1)e^x$. Teckentabell för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&-2-\sqrt5&&-2+\sqrt5&\\\hline f''&+&0&-&0&+\\f&\text{konvex}&&\text{konkav}&&\text{konvex}\end{array}$$
Asymptoter: Eftersom $f$ är definierad och kontinuerlig för alla $x$, finns inga lodräta asymptoter.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{(x^2-3)e^x}x=\infty,$$
så det finns ingen sned asymptot då $x\to\infty$.
$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^2-3)e^x=[x=-t]=\lim_{t\to\infty}\frac{t^2-3}{e^t}=0.$$
Så $y=0$ är vågrät asymptot.

Grafen: