Uppgift 4

Sätt $f(x)=\frac{\lvert x-2\rvert+x}{x+1}$. $f(x)=\frac{2x-2}{x+1}$ då $x\ge2$ och $f(x)=\frac2{x+1}$ då $x<2$. Så $f'(x)=\frac4{(x+1)^2}$ för $x>2$ och $f'(x)=-\frac2{(x+1)^2}$ för $x<2$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|cccc}x&0&&2&\\\hline f'&&-&\text{ej def.}&+\\f&&\searrow&&\nearrow\end{array}$$
Eftersom $f(0)=2$ och $f$ är strängt avtagande i intervallet $[0,2]$, är $f(x)<2$ för $0<x\le2$.

Eftersom $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{2x-2}{x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{2-2/x}{1+1/x}=2$ och $f$ är strängt växande i intervallet $[2,\infty)$, är $f(x)<2$ även för $x\ge2$.

Anmärkning: Uppgiften går också att lösa som en algebraisk olikhet, utan att använda derivator.