Uppgift 5

$f_x'(x,y)=(2x-(x^2+2y))e^{-x-y}$, $f_y'(x,y)=(2-(x^2+2y))e^{-x-y}$. $f_x'=f_y'=0$ om och endast om $2x=x^2+2y$ och $2=x^2+2y$. Eftersom högerleden är lika, måste även vänsterleden vara det, så $x=1$. Detta insatt i 2:a ekvationen ger $y=\frac12$. Så $(1,\frac12)$ är den enda stationära punkten för $f$ och den ligger i det inre av triangeln. Vi sparar värdet $f(1,\frac12)=2/e^{3/2}$.

Randundersökning: I hörnen har vi $f(0,0)=0$, $f(2,0)=f(0,2)=4/e^2$.

På linjestycket $0<x<2$, $y=0$ sätter vi $h_1(t)=f(t,0)=t^2e^{-t}$. $h_1'(t)=(2t-t^2)e^{-t}\ne0$ för $0<t<2$, så det blir inga punkter att undersöka här.

På linjestycket $x=0$, $0<y<2$ sätter vi $h_2(t)=f(0,t)=2te^{-t}$. $h_2'(t)=(2-2t)e^{-t}=0$ då $t=1$ och $h_2(1)=f(0,1)=2/e$.

Det sista linjestycket är $y=2-x$, $0<x<2$, som vi parametriserar genom $h_3(t)=f(t,2-t)=(t^2-2t+4)e^{-2}$. $h_3'(t)=(2t-2)e^{-2}=0$ då $t=1$ och $h_3(1)=f(1,1)=3/e^2$.

Vi behöver jämföra värdena $2/e^{3/2}$, $0$, $4/e^2$, $2/e$ och $3/e^2$. Minsta värdet är uppenbart $0$. Eftersom $2/e^{3/2}<2/e$ och $3/e^2<4/e^2$, återstår att jämföra $2/e$ och $4/e^2$. Eftersom $2/e<1$, är $4/e^2=(2/e)^2<2/e$. Alltså är $2/e$ funktionens största värde i triangeln.