Uppgift 6

Vid övergång till polära koordinater svarar $1\le x^2+y^2\le2$ mot $1\le r\le\sqrt2$ och $-x\le y\le x$ mot $-\pi/4\le\theta\le\pi/4$ (rita en figur). Sätt $E=\{(r,\theta)\mid1\le r\le\sqrt2,\ -\pi/4\le\theta\le\pi/4\}$. Då får vi
$$\begin{aligned}\iint_D\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\,dx\,dy&=\iint_E\frac{r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)}{r^2}r\,dr\,d\theta=\iint_Er\cos2\theta\,dr\,d\theta\\&=\int_1^{\sqrt2}r\,dr\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos2\theta\,d\theta=\left[\frac{r^2}2\right]_1^{\sqrt2}\left[\frac{\sin2\theta}2\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}=\frac12.\end{aligned}$$