Uppgift 2

a) Den karakteristiska ekvationen $r^2-3r-4=0$ har rötterna $r_1=4$ och $r_2=-1$. Så $y_h=C_1e^{4x}+C_2e^{-x}$.

Vi söker en partikulärlösning på formen $y_p=Ae^{2x}+Be^{-2x}+C$. Derivering ger $y_p'=2Ae^{2x}-2Be^{-2x}$ och $y_p''=4Ae^{2x}+4Be^{-2x}$. Så $y_p''-3y_p'-4y_p=-6Ae^{2x}+6Be^{-2x}-4C=e^{2x}+e^{-2x}+1$. Alltså är $A=-\frac16$, $B=\frac16$, $C=-\frac14$, och slutligen får vi $y=C_1e^{4x}+C_2e^{-x}-\frac16e^{2x}+\frac16e^{-2x}-\frac14$.

b) Genom att dividera ekvationen med $x$ får vi $y'-\frac1xy=\frac{x^2}{1+x^2}$. Eftersom $\int(-\frac1x)\,dx=-\ln x$ (med integrationskonstanten satt till $0$), är $e^{-\ln x}=1/x$ ekvationens integrerande faktor. Vi får $\frac1xy'-\frac1{x^2}y=\frac x{1+x^2}$ och sedan $(\frac yx)'=\frac x{1+x^2}$ och $\frac yx=\int\frac x{1+x^2}\,dx=\frac12\ln(1+x^2)+C$. Så $y=\frac12x\ln(1+x^2)+Cx$.

(Att $\int\frac x{1+x^2}\,dx=\frac12\ln(1+x^2)+C$ inses direkt eller genom substitution $t=1+x^2$.)