Uppgift 3

$f(x)=\frac{e^x}x$ om $x>0$ och $f(x)=-\frac{e^x}x$ om $x<0$. För $x>0$ blir derivatorna $f'(x)=\frac{(x-1)e^x}{x^2}$ och $f''(x)=\frac{(x^2-2x+2)e^x}{x^3}$ medan för $x<0$ får vi $f'(x)=-\frac{(x-1)e^x}{x^2}$ och $f''(x)=-\frac{(x^2-2x+2)e^x}{x^3}$.

Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&1&\\\hline f'&+&\text{ej def.}&-&0&+\\f&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt minimum då $x=1$.

Konvexitet. Teckentabell för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&0&\\\hline f''&+&\text{ej def.}&+\\f&\text{konvex}&&\text{konvex}\end{array}$$
Asymptoter. $\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{\lvert x\rvert}=\infty$. Så $x=0$ är lodrät asymptot.

$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\infty$, så det finns ingen sned asymptot då $x\to\infty$.

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{-x}=0$. Så $y=0$ är vågrät asymptot.

Grafen: