Hela analys · 2010-08-20
Bestäm volymen av den kropp som bildas då skivan $\{(x,y)\mid 0\le y\le\ln x,\ 1\le x\le e\}$ roterar kring $y$-axeln.
Bestäm volymen av den kropp som bildas då skivan $\{(x,y)\mid \max\{0,\ln x\}\le y\le1,\ 0\le x\le e\}$ roterar kring $y$-axeln ($\max\{0,\ln x\}$ betecknar, för varje $x$, det största av talen 0 och $\ln x$).
Notera att i båda deluppgifterna roterar skivan kring $y$-axeln.
a) Volymformeln då skivan $0\le y\le f(x)$, $a\le x\le b$ roterar kring $y$-axeln är $V=2\pi\int_a^bxf(x)\,dx$. Här är $a=1$, $b=e$, $f(x)=\ln x$, så
$$V=2\pi\int_1^ex\ln x\,dx=[\text{partiell integration}]=2\pi\left(\left[\frac{x^2}2\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac x2\,dx\right)=2\pi\left(\frac{e^2}2-\left[\frac{x^2}4\right]_1^e\right)=\frac{\pi(e^2+1)}2.$$
b) Kroppen här är en cylinder med radien $e$ och höjden $1$ från vilken man har borttagit kroppen ovan (rita en figur). Så $V=\pi e^2-\frac{\pi(e^2+1)}2=\frac{\pi(e^2-1)}2$. Alternativt kan volymen beräknas som $V=\pi\int_0^1g(y)^2\,dy$, där $g(y)=f^{-1}(y)=e^y$ (inversen till $f(x)=\ln x$).