Uppgift 5
(a)
Bestäm tangentplanet till funktionen $f(x,y)=x^2y^2-x^2y$ i punkten $(1,2,2)$.
(b)
Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=x^2y^2-x^2y$ i triangeln med hörn i $(0,0)$, $(1,0)$ och $(0,1)$.
Hela analys · 2010-08-20
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
a) $f_x'(x,y)=2xy^2-2xy$, $f_y'(x,y)=2x^2y-x^2$. Eftersom $f_x'(1,2)=4$ och $f_y'(1,2)=3$, är planets ekvation $z=2+4(x-1)+3(y-2)$, och efter förenkling $z=4x+3y-8$.
b) $f_x'=f_y'=0$ ger $2xy^2-2xy=2xy(y-1)=0$ och $2x^2y-x^2=x^2(2y-1)=0$. Eftersom $x,y>0$ och $y<1$ i det inre av triangeln, är $f_x'\ne0$ där, så det finns inga inre stationära punkter.
Randundersökning. Eftersom $f=0$ på koordinataxlarna, är $f=0$ på två av sidorna (inklusive hörnen).
Det återstår att betrakta sidan $y=1-x$, $0<x<1$. Den parametriseras genom $h(t)=f(t,1-t)=t^2(1-t)^2-t^2(1-t)=t^4-t^3$, $0<t<1$. $h'(t)=4t^3-3t^2=0$ då $t=3/4$ och $h(3/4)=f(3/4,1/4)=-27/256$.
Det följer att $0$ och $-27/256$ är funktionens största respektive minsta värde i triangeln.