Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D xe^y\,dx\,dy$, där $D$ är det område i planet som begränsas av kurvan $y=x^2$ och linjerna $y=0$ samt $x=2$.
Hela analys · 2010-08-20
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
Området beskrivs med olikheterna $0\le y\le x^2$, $0\le x\le2$ (rita en figur). Så
$$\begin{aligned}\iint_Dxe^y\,dx\,dy&=\int_0^2\left(\int_0^{x^2}xe^y\,dy\right)dx=\int_0^2[xe^y]_{y=0}^{y=x^2}\,dx=\int_0^2(xe^{x^2}-x)\,dx=\int_0^2xe^{x^2}\,dx-\int_0^2x\,dx\\&=[x^2=t,\ 2x\,dx=dt]=\frac12\int_0^4e^t\,dt-\int_0^2x\,dx=\frac12[e^t]_0^4-\frac12[x^2]_0^2=\frac12(e^4-5).\end{aligned}$$