Hela analys · 2010-12-14
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+2y'+y=x+e^{2x}$.
Bestäm den lösning till differentialekvationen $xyy'=1+y^2$ som satisfierar villkoret $y(1)=-2$. För full poäng krävs att lösningen ges på formen $y=f(x)$ (dvs. att $y$ löses ut som en funktion av $x$).
a) Den karakteristiska ekvationen $r^2+2r+1=0$ har dubbelrot $r_{1,2}=-1$, så $y_h=(C_1x+C_2)e^{-x}$.
Vi söker en partikulärlösning på formen $y_p=Ax+B+Ce^{2x}$. Derivering ger $y_p'=A+2Ce^{2x}$ och $y_p''=4Ce^{2x}$. Så $y_p''+2y_p'+y_p=Ax+(2A+B)+9Ce^{2x}=x+e^{2x}$, vilket ger $A=1$, $B=-2$, $C=1/9$. Alltså är $y=(C_1x+C_2)e^{-x}+x-2+\frac19e^{2x}$.
b) Genom att separera variablerna får vi $\frac{yy'}{1+y^2}=\frac1x$, vilket kan skrivas om som $\frac{y\,dy}{1+y^2}=\frac{dx}x$.
Integration ger $\frac12\ln(1+y^2)=\ln\lvert x\rvert+C_1$. Så $\ln(1+y^2)=\ln(x^2)+C_2$. Villkoret $y(1)=-2$ ger $\ln5=C_2$. Alltså är $\ln(1+y^2)=\ln(x^2)+\ln5=\ln(5x^2)$, så $1+y^2=5x^2$, och slutligen, $y=-\sqrt{5x^2-1}$. (Om $y=\sqrt{5x^2-1}$, är $y(1)=2$ och inte $-2$, därför måste vi ta minus roten.)