Uppgift 3

a) $f'(x)=\frac1{1+x^2}-\frac1{(x-1)^2}=\frac{-2x}{(1+x^2)(x-1)^2}$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&1&\\\hline f'&+&0&-&\text{ej def.}&-\\f&\nearrow&&\searrow&&\searrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ har ett lokalt maximum då $x=0$.

Asymptoter. $\lim_{x\to1^-}f(x)=\frac\pi4+[\frac1{0^-}]=-\infty$, $\lim_{x\to1^+}f(x)=\frac\pi4+[\frac1{0^+}]=+\infty$. Så $x=1$ är lodrät asymptot för $f$.

Eftersom $1/(x-1)\to0$ och $\arctan x\to\pm\pi/2$ då $x\to\pm\infty$, är $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\frac\pi2$. Så $y=\pi/2$ är vågrät asymptot då $x\to\infty$ och $y=-\pi/2$ är vågrät asymptot då $x\to-\infty$.

Grafen:

b) Eftersom $f'(x)=\frac1{1+x^2}-\frac1{(x-1)^2}$, är $f''(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}+\frac2{(x-1)^3}$. För $0\le x<1$ är första termen $\le0$ och andra termen är negativ. Så $f''(x)<0$ och $f$ är konkav för sådana $x$.

För $x>1$ skriver vi om andraderivatan: $f''(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}+\frac2{(x-1)^3}=\frac{2(3x^3-x^2+x+1)}{(1+x^2)^2(x-1)^3}$.

Eftersom $3x^3>x^2$ nu, är täljaren i högerledet positiv, och det är även nämnaren. Alltså är $f''(x)>0$ och $f$ är konvex.