Uppgift 4

Låt $f(x)=\arctan x-\lvert x-1\rvert$. Vi behöver visa att $f(x)\le\pi/4$ för alla $x$. För $x>1$ är $f(x)=\arctan x-x+1$ och $f'(x)=\frac1{1+x^2}-1<0$. För $x<1$ är $f(x)=\arctan x+x-1$ och $f'(x)=\frac1{1+x^2}+1>0$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&1&\\\hline f'&+&\text{ej def.}&-\\f&\nearrow&&\searrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f(x)\le f(1)=\arctan1=\pi/4$ för alla $x$.