Uppgift 6

Vid övergång till polära koordinater svarar $x^2+y^2\le1$ mot $0\le r\le1$ och $0\le x\le y$ mot $\pi/4\le\theta\le\pi/2$ (rita en figur). Sätt $E=\{(r,\theta)\mid0\le r\le1,\ \pi/4\le\theta\le\pi/2\}$. Vi får
$$\begin{aligned}\iint_Dxy^2\,dx\,dy&=\iint_Er^4\cos\theta\sin^2\theta\,dr\,d\theta=[\text{eftersom integranden är på formen }g(r)h(\theta)]\\&=\int_0^1r^4\,dr\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos\theta\sin^2\theta\,d\theta=\frac15\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos\theta\sin^2\theta\,d\theta=[\sin\theta=t,\ \cos\theta\,d\theta=dt]\\&=\frac15\int_{1/\sqrt2}^1t^2\,dt=\frac1{15}[t^3]_{1/\sqrt2}^1=\frac1{15}\left(1-\frac1{2\sqrt2}\right).\end{aligned}$$
Integralen kan även beräknas direkt, utan att gå över till polära koordinater (räkningarna blir dock svårare).