Hela analys · 2011-01-14
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+3y'+2y=\cos x$.
Bestäm den lösning till differentialekvationen $2\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}=0$ som satisfierar villkoret $f(x,0)=x^2-1$, t.ex. genom att införa de nya variablerna $u=x+2y$, $v=y$.
a) Den karakteristiska ekvationen $r^2+3r+2=0$ har två reella rötter: $r_1=-1$ och $r_2=-2$. Så $y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$.
Vi söker en partikulärlösning på formen $y_p=A\cos x+B\sin x$. Derivering ger $y_p'=-A\sin x+B\cos x$ och $y_p''=-A\cos x-B\sin x$. Så $y_p''+3y_p'+2y_p=(A+3B)\cos x+(-3A+B)\sin x=\cos x$, vilket ger $A+3B=1$, $-3A+B=0$. Alltså är $A=1/10$, $B=3/10$ och $y=y_h+y_p=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+\frac1{10}\cos x+\frac3{10}\sin x$.
b)
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u},\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}=2\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}.$$
Så $2\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{\partial f}{\partial v}=0$. Alltså är $f$ oberoende av $v$, dvs. $f(u,v)=g(u)$. Går vi tillbaka till $xy$-variablerna, får vi $f(x,y)=g(x+2y)$. Eftersom $f(x,0)=g(x)=x^2-1$, är $g(x)=x^2-1$ och $f(x,y)=(x+2y)^2-1$.