Uppgift 3

$f'(x)=\frac1{1+x^2}-\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&0&\\\hline f'&+&0&+\\f&\nearrow&&\nearrow\end{array}$$
Det framgår av tabellen att $f$ är strängt växande och har inget lokalt maximum eller minimum.
$$f''(x)=\frac{4x(1+x^2)^2-8x^3(1+x^2)}{(1+x^2)^4}=\frac{4x(1+x^2)-8x^3}{(1+x^2)^3}=\frac{4x-4x^3}{(1+x^2)^3}=\frac{4x(1-x^2)}{(1+x^2)^3}.$$
Teckentabell för $f''$:
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&&-1&&0&&1&\\\hline f''&+&0&-&0&+&0&-\\f&\text{konvex}&&\text{konkav}&&\text{konvex}&&\text{konkav}\end{array}$$
Asymptoter. Eftersom $f$ är definierad och kontinuerlig för alla $x$, finns inga lodräta asymptoter.

Eftersom $\arctan x\to\pm\pi/2$ och $x/(1+x^2)\to0$ då $x\to\pm\infty$, är $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\frac\pi2$. Så $y=\pi/2$ är vågrät asymptot då $x\to\infty$ och $y=-\pi/2$ är vågrät asymptot då $x\to-\infty$.

Grafen: