Uppgift 4

Eftersom intervallet är slutet och begränsat, har $f$ säkert ett största och ett minsta värde där, och de söks i inre stationära punkter, inre punkter där derivatan inte existerar och intervallets ändpunkter.

För $x>1$ är $f(x)=\frac{2x-1}{x^2+2}$ och $f'(x)=\frac{-2x^2+2x+4}{(x^2+2)^2}$. Så $f'(x)=0$ då $x=2$. ($-2x^2+2x+4=0$ även då $x=-1$, men denna rot ligger utanför intervallet $x>1$.) Vi sparar värdet $f(2)=1/2$.

För $x<1$ är $f(x)=\frac1{x^2+2}$ och $f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+2)^2}$. Så $f'(x)=0$ då $x=0$. Vi sparar värdet $f(0)=1/2$.

Eftersom $f$ inte är deriverbar i $x=1$, behöver vi även värdet $f(1)=1/3$. I ändpunkterna får vi $f(-1)=1/3$ respektive $f(3)=5/11$.

Eftersom $1/3<5/11<1/2$, är $1/3$ funktionens minsta och $1/2$ funktionens största värde i intervallet $-1\le x\le3$. Minsta värdet tas i punkterna $-1$ och $1$, och största värdet i punkterna $0$ och $2$.