Uppgift 5

a) Låt $f(x)=1/x^2$. Vid rotation av området $0\le y\le f(x)$, $x\ge1$ kring $x$-axeln är volymen
$$\begin{aligned}V&=\pi\int_1^\infty f(x)^2\,dx=\pi\int_1^\infty\frac1{x^4}\,dx=\pi\left[-\frac1{3x^3}\right]_1^\infty=\pi\lim_{X\to\infty}\left[-\frac1{3x^3}\right]_1^X\\&=\pi\left(-\lim_{X\to\infty}\frac1{3X^3}+\frac13\right)=\frac\pi3.\end{aligned}$$
b) Vid rotation av samma område kring $y$-axeln är volymen
$$V=2\pi\int_1^\infty xf(x)\,dx=2\pi\int_1^\infty\frac1x\,dx=2\pi[\ln x]_1^\infty=2\pi\lim_{X\to\infty}\ln X=+\infty.$$
Alltså är volymen oändlig.