Uppgift 1

a) $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+1}{2n}\right)^n =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{2n}\right)^n =\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1{2n}\right)^{2n}\right)^{1/2} =e^{1/2}=\sqrt e,$$
där standardgränsvärdet $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$ har använts.

b) Maclaurinutveckling ger ($B_1(x),\dots,B_6(x)$ är begränsade kring $x=0$):
$$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2)-x\sin x}{x\arctan x-x^2\cos x} &=\lim_{x\to0}\frac{(x^2-\frac{x^4}{2}+x^6B_1(x))-x(x-\frac{x^3}{6}+x^5B_2(x))}{x(x-\frac{x^3}{3}+x^5B_3(x))-x^2(1-\frac{x^2}{2}+x^4B_4(x))}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^4}{2}+\frac{x^4}{6}+x^6B_5(x)}{-\frac{x^4}{3}+\frac{x^4}{2}+x^6B_6(x)}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{-\frac12+\frac16+x^2B_5(x)}{-\frac13+\frac12+x^2B_6(x)}=\frac{-\frac13}{\frac16}=-2. \end{aligned}$$