Uppgift 3

$f(x)=\frac{x\lvert x\rvert}{x-2}=\frac{x^2}{x-2}=x+2+\frac4{x-2}$, om $x\ge0$ och $f(x)=\frac{x\lvert x\rvert}{x-2}=-\frac{x^2}{x-2}=-(x+2+\frac4{x-2})=-x-2-\frac4{x-2}$, om $x<0$. Lodrät asymptot är $x=2$, ty $\lvert f(x)\rvert\to\infty$ då $x\to2$. Sneda asymptoter är $y=x+2$ då $x\to\infty$ och $y=-x-2$ då $x\to-\infty$, ty $4/(x-2)\to0$ då $x\to\pm\infty$.

Derivering ger $f'(x)=\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}$ om $x>0$ och $f'(x)=-\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}$ om $x<0$. För $x>0$ finns enda stationära punkten $x=4$. För $x<0$ finns inga stationära punkter. I $x=0$ är både vänster- och högerderivatan $0$, så $f(x)$ är deriverbar i $x=0$ som även är en stationär punkt. Teckenstudium ger att $f'(x)<0$ om $x<0$, om $0<x<2$ eller om $2<x<4$ och $f'(x)>0$ om $x>4$. Funktionen har en terrasspunkt i $x=0$ och en lokal minimipunkt i $x=4$.

Andraderivatan beräknas: $f''(x)=\frac8{(x-2)^3}$ om $x>0$ och $f''(x)=-\frac8{(x-2)^3}$ om $x<0$. Teckenstudium ger att $f''(x)>0$ om $x>2$ eller om $x<0$ och $f''(x)<0$ om $0<x<2$. Alltså är $f(x)$ konvex på intervallen $x<0$ och $x>2$ och konkav på intervallet $0<x<2$. Funktionen har en inflexionspunkt i $x=0$. (Se figur nästa sida.)