Uppgift 4

a) $$V=\pi\int_0^1(1^2-(x^2)^2)\,dx=\pi\left[x-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=\pi\left(1-\frac15\right)=\frac{4\pi}{5}.$$
b) $$V=2\pi\int_0^1x(1-x^2)\,dx=2\pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=2\pi\left(\frac12-\frac14\right)=\frac\pi2.$$
Alternativa lösningar kan erhållas genom integration med avseende på $y$:

a) $$V=2\pi\int_0^1y\cdot\sqrt y\,dy=2\pi\left[\frac{2y^{5/2}}5\right]_0^1=2\pi\cdot\frac25=\frac{4\pi}5.$$
b) $$V=\pi\int_0^1(\sqrt y)^2\,dy=\pi\left[\frac{y^2}2\right]_0^1=\frac\pi2.$$