Uppgift 6

$f(x,y)=x^2+y^2-x-3y-1$. Stationära punkter i det inre: $f_x'(x,y)=2x-1$, $f_y'(x,y)=2y-3$. Ekvationssystemet $f_x'=f_y'=0$ har enda lösningen $(x,y)=(\frac12,\frac32)$ som ligger utanför området.

Undersökning av randen:

1. $y=0$: $f(x,0)=x^2-x-1=g(x)$, $g'(x)=2x-1=0$ ger $x=\frac12$ som ligger i intervallet $-1<x<1$. Motsvarande funktionsvärde är $g(\frac12)=(\frac12)^2-\frac12-1=-\frac54$.

2. $x^2+y^2=1$: Med $x=\cos t$, $y=\sin t$ får man $f(\cos t,\sin t)=\cos^2t+\sin^2t-\cos t-3\sin t-1=1-\cos t-3\sin t-1=-\cos t-3\sin t=h(t)$, $h'(t)=\sin t-3\cos t=0$ ger $\tan t=3$, $t=\arctan3\ (+n\cdot\pi)$. Endast $\arctan3$ ligger i intervallet och motsvarande funktionsvärde är $h(\arctan3)=-\cos(\arctan3)-3\sin(\arctan3)=-\frac1{\sqrt{10}}-3\cdot\frac3{\sqrt{10}}=-\sqrt{10}$. ($\cos(\arctan3)$ och $\sin(\arctan3)$ beräknas enklast med hjälp av en rätvinklig triangel med kateterna $1$ och $3$ och hypotenusan $\sqrt{10}$.)

3. I hörnen $(\pm1,0)$ är respektive funktionsvärde $f(1,0)=-1$ och $f(-1,0)=1$.

Svar: Största värdet är $1$, minsta värdet är $-\sqrt{10}$.