Uppgift 1

a) Maclaurinutveckling ger
$$\begin{aligned} \frac{\sin^2x-\arctan^2x}{x^4} &=\frac{(x-\frac{x^3}6+x^5B_1(x))^2-(x-\frac{x^3}3+x^5B_2(x))^2}{x^4}\\ &=\frac{x^2-\frac{2x^4}6-x^2+\frac{2x^4}3+x^6B_3(x)}{x^4}\\ &=-\frac26+\frac23+x^2B_3(x)\to-\frac26+\frac23=\frac13, \end{aligned}$$
då $x\to0$ (där $B_i(x)$, $i=1,2,3$ är begränsade i en omgivning av $x=0$).

b) $$\begin{aligned} \sqrt{x^2+6x}-\sqrt{x^2-4x} &=\frac{(\sqrt{x^2+6x}-\sqrt{x^2-4x})(\sqrt{x^2+6x}+\sqrt{x^2-4x})}{\sqrt{x^2+6x}+\sqrt{x^2-4x}}\\ &=\frac{(x^2+6x)-(x^2-4x)}{x(\sqrt{1+6/x}+\sqrt{1-4/x})} =\frac{10}{\sqrt{1+6/x}+\sqrt{1-4/x}}\to5, \end{aligned}$$
då $x\to\infty$.

Eller med Maclaurinutveckling:
$$\begin{aligned} \sqrt{x^2+6x}-\sqrt{x^2-4x} &=x\left(\sqrt{1+\frac6x}-\sqrt{1-\frac4x}\right)\\ &=x\left(1+\frac12\frac6x+\frac1{x^2}B_1(1/x)-1+\frac12\frac4x+\frac1{x^2}B_2(1/x)\right)\\ &=x+3-x+2+\frac1xB_3(1/x)\to5, \end{aligned}$$
då $x\to\infty$ (där $B_i(t)$, $i=1,2,3$ är begränsade i en omgivning av $t=0$).