Uppgift 2

$f(x)=\frac{x+\lvert x-1\rvert}{x+1}$. $f(x)=\frac{x+x-1}{x+1}=\frac{2x+2-3}{x+1}=2-\frac3{x+1}$, om $x\ge1$ och $f(x)=\frac{x+1-x}{x+1}=\frac1{x+1}$, om $x<1$.

$\lim_{x\to-1}\lvert f(x)\rvert=\infty$, så $x=-1$ är en lodrät asymptot. $\lim_{x\to\infty}f(x)=2$, så $y=2$ är en horisontell asymptot när $x\to\infty$. $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$, så $y=0$ är en horisontell asymptot när $x\to-\infty$.

Derivation ger $f'(x)=\frac3{(x+1)^2}$ för $x>1$ och $f'(x)=-\frac1{(x+1)^2}$ för $x<1$. Derivatan $f'(x)$ är positiv på intervallet $(1,\infty)$ och negativ på intervallen $(-\infty,-1)$ och $(-1,1)$. Alltså är funktionen $f(x)$ strängt avtagande på $(-\infty,-1)$ och på $(-1,1)$ och strängt växande på $(1,\infty)$. Funktionen har inga stationära punkter men har en enda lokal extrempunkt (en minimipunkt) i $(1,\frac12)$, där derivatan inte existerar (höger- och vänsterderivatorna är olika).

Ytterligare en derivation ger $f''(x)=-\frac6{(x+1)^3}$ för $x>1$ och $f''(x)=\frac2{(x+1)^3}$ för $x<1$. Andraderivatan $f''(x)$ är positiv på intervallet $(-1,1)$ och negativ på intervallen $(-\infty,-1)$ och $(1,\infty)$. Alltså är funktionen $f(x)$ konvex på $(-1,1)$ och konkav på $(-\infty,-1)$ och $(1,\infty)$. [Grafen skisseras på omstående sida.]