Uppgift 3
(a)
Bestäm volymen av kroppen som uppstår då området $\{(x,y)\mid 0\le y\le x\sqrt{x},\ 0\le x\le1\}$ roterar ett varv kring $x$-axeln.
(b)
Bestäm längden av kurvan $y=x\sqrt{x}$, $0\le x\le1$.
Hela analys · 2011-05-30
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
a) Volymen är $\pi\int_0^1(x\sqrt x)^2\,dx=\pi\int_0^1x^3\,dx=\pi[x^4/4]_0^1=\pi/4$, enligt formeln för volymen $V=\pi\int_a^bf(x)^2\,dx$.
b) Båglängden är
$$\int_0^1\sqrt{1+\left(\frac{3x^{1/2}}2\right)^2}\,dx
=\int_0^1\sqrt{1+\frac{9x}4}\,dx
=\left[\frac23\cdot\frac49\left(1+\frac{9x}4\right)^{3/2}\right]_0^1
=\frac8{27}\left(\left(\frac{13}4\right)^{3/2}-1\right)
=\frac{13\sqrt{13}-8}{27},$$
enligt formeln för båglängden $s=\int_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,dx$.