Uppgift 4

a) $y''-y=x^2$. Den homogena ekvationen $y''-y=0$ har karakteristiska ekvationen $r^2-1=0$ med lösningen $r=\pm1$. Alltså är $y_h=C_1e^x+C_2e^{-x}$, där $C_1$ och $C_2$ är godtyckliga konstanter, den allmänna homogena lösningen. Ansätt en partikulärlösning $y_p=ax^2+bx+c$. Derivering ger $y_p'=2ax+b$ och $y_p''=2a$, som insatta i ekvationen ger $2a-(ax^2+bx+c)=x^2$. Det ger $a=-1$, $b=0$ och $c=-2$ genom identifikation av koefficienter. Alltså är $y_p=-x^2-2$ och $y=y_p+y_h=-x^2-2+C_1e^x+C_2e^{-x}$, där $C_1$ och $C_2$ är godtyckliga konstanter, är den allmänna lösningen till $y''-y=x^2$.

b) $y'=\cos^2y$, $y'/\cos^2y=1$, $\tan y=x+C$. Villkoret $y(0)=0$ ger $0=0+C$, $C=0$, så $y=\arctan x+n\cdot\pi$. Villkoret $y(0)=0$ ger $n=0$. Svar: $y=\arctan x$.