Uppgift 5

$f(x,y)=2e^{-x}+2x-y$. Stationära punkter sökes: $f_x'(x,y)=-2e^{-x}+2$, $f_y'(x,y)=-1$. $f_y'(x,y)\ne0$ för alla $(x,y)$ ger att stationära punkter saknas. Randen undersöks:

1. $y=0$: $f(x,0)=2e^{-x}+2x=g(x)$, $g'(x)=-2e^{-x}+2=0$ ger $e^{-x}=1$, $x=0$.

2. $x=1$: $f(1,y)=2/e+2-y=h(y)$, $h'(y)=-1\ne0$ för alla $y$.

3. $x=y$: $f(x,x)=2e^{-x}+x=k(x)$, $k'(x)=-2e^{-x}+1=0$, $e^{-x}=1/2$, $-x=\ln(1/2)$, $x=\ln2$, $k(\ln2)=2e^{-\ln2}+\ln2=2\cdot\frac12+\ln2=1+\ln2$.

4. Hörnen $(0,0)$, $(1,0)$ och $(1,1)$: $f(0,0)=2$, $f(1,0)=2+2/e$, $f(1,1)=1+2/e$. Största värdet är $2+2/e$, minsta värdet är $1+\ln2$.

(För att jämföra $f(\ln2,\ln2)=k(\ln2)$ och $f(1,1)=k(1)$ kan man använda att $k'(x)>0$ för $x>\ln2$.)